Question

在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=2，底面是边长为1的正方形，E、G、F分别是棱B₁B、D₁D、DA的中点．
（Ⅰ）求证：平面AD₁E∥平面BGF；
（Ⅱ）求证：D₁E⊥平面AEC．

Answer

（Ⅰ）欲证平面AD1E∥平面BGF，根据面面平行的判定定理可知只需在一个平面内找两相交直线与另一平面平行，根据中位线可知BE∥D1F且BE=D1F，则四边形BED1F为平行四边形即D1E∥BF，又D1E⊂平面AD1E，BF⊄平面AD1E，根据线面平行的判定定理可知BF∥平面AD1E，同理可证GF∥AD1，又AD1⊂平面AD1E，GF⊄平面AD1E，从而GF∥平面AD1E，又BF∩GF=F，满足定理所需的条件；
（Ⅱ）根据AD12=D1E2+AE2可知D1E⊥AE，而AC⊥BD，AC⊥D1D，根据线面垂直的判定定理可知AC⊥平面BD1，又D1E⊂平面BD1，AC⊥D1E，
又AC∩AE=A，AC⊂平面AEC，AE⊂平面AEC．根据线面垂直的判定定理可知D1E⊥平面AEC．
证明：（Ⅰ）∵E，F分别是棱BB1，DD1中点∴BE∥D1F且BE=D1F
四边形BED1F为平行四边形∴D1E∥BF
又D1E⊂平面AD1E，BF⊄平面AD1E∴BF∥平面AD1E（3分）
又G是棱DA的中点∴GF∥AD1
又AD1⊂平面AD1E，GF⊄平面AD1E∴GF∥平面AD1E（6分）
又BF∩GF=F
平面AD1E∥平面BGF（7分）
（Ⅱ）AA1=2，AD1=，
同理AE=AD12=D1E2+AE2，∴D1E⊥AE（10分）
∵AC⊥BD，AC⊥D1D，∴AC⊥平面BD1，又D1E⊂平面BD1，AC⊥D1E，
又AC∩AE=A，AC⊂平面AEC，AE⊂平面AEC．所以D1E⊥平面AEC．（13分）