Question

如图1，已知几何体的下部是一个底面为正六边形、侧面全为矩形的棱柱，上部是一个侧面全为等腰三角形的棱锥，图2是该几何体的主视图．
（1）求该几何体的体积；
（2）证明：DF₁平面PA₁F₁．

Answer

（1）由题意可知，该几何体由下部正六棱柱和上部正六棱锥组合而成，分别求体积，即可得出结论；
（2）证明A1F1⊥平面DFF1，可得A1F1⊥DF1；利用勾股定理，可得DF1⊥PF1，利用线面垂直的判定定理，可得结论．
（1）【解析】
由题意可知，该几何体由下部正六棱柱和上部正六棱锥组合而成，
∴正六棱柱的体积为：V1=Sh=6×=；  …（3分）
正六棱锥的体积为：=；   …（6分）
∴该几何体的体积的体积为V=V1+V2=．           …（7分）
（2）证明：∵侧面全为矩形，∴AF⊥FF1；
在正六边形ABCDEF中，AF⊥DF，…（8分）
∵DF∩FF1=F，∴AF⊥平面DFF1；           …（9分）
∵AF∥A1F1，∴A1F1⊥平面DFF1；
又DF1⊂平面DFF1，∴A1F1⊥DF1；…（11分）
（注：也可以由勾股定理得到）
在△DFF1中，FF1=2，，∴DF1=4，
∵；
∴在平面PA1ADD1中，如图所示，=，
∴，故DF1⊥PF1；…（13分）
∵A1F1∩PF1=F1，∴DF1⊥平面PA1F1．                     …（14分）