Question

已知函数f（x）=x²+（x＞0）．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）当a=时，若P（x₁，f（x₁）），Q（x₂f（x₂））（0＜x₁＜x₂）是函数图象上的两点，且存在实数x＞0，使得f′（x）=．证明：x₁＜x＜x₂．

Answer

（1）可求得f′（x）=，通过对a分a≤0与a＞0讨论，即可求得f（x）的单调区间；
（2）a=时，f（x）=x2+（x＞0），f′（x）=2x-，依题意可得2x-=（x2+x1）-，即x是方程2x--（x2+x1）+=0的根，构造函数g（x）=2x--（x2+x1）+，利用零点存在定理即可证得结论．
（1）【解析】
f′（x）=2x-=                                        …（1分）
①当a≤0时，f′（x）＞0，函数在（0，+∞）上单调递增；                        …（3分）
②当a＞0时，当0＜x＜时，f′（x）＜0，函数在（0，）上单调递减；
当x＞时，f′（x）＞0，函数在[，+∞）上单调递增．…（5分）
综上可知，当a≤0时，函数f（x）单调递增，递增区间为（0，∞）；
当a＞0时，函数f（x）单调递减区间为（0，）；单调递增区间为[，+∞）．…（6分）
（2）当a=时，f（x）=x2+（x＞0），此时f′（x）=2x-，…（7分）
===（x2+x1）-，
从而原等式为2x-=（x2+x1）-．…（8分）
由题意可得x是方程2x--（x2+x1）+=0的根，…（9分）
令g（x）=2x--（x2+x1）+，
g（x1）=2x1-+-x1-x2=（x1-x2）-=（x1-x2）（1+）＜0，…（11分）
g（x2）=2x2-+-x1-x2=（x2-x1）-=（x2-x1）（1+）＞0，…（12分）
g（x1）•g（x2）＜0，由零点的存在性定理，可知：
∴x1＜x＜x2．…（14分）