Question

已知函数f（x）=ax-2lnx-
（I）若函数f（x）在其定义域内为单调函数，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）设g（x）=，若存在x∈[1，e]，使得f（x）＞g（x）成立，求实数a的取值范围．

Answer

（I）确定函数的定义域，求导函数，由导数的正负，分离参数求最值，即可求实数a的取值范围；
（Ⅱ）g（x）=在[1，e]上是减函数，且g（x）∈[2，2e]．分类讨论求最值，即可求实数a的取值范围．
【解析】
（I）函数的定义域为（0，+∞），
①若f′（x）≥0，则ax2-2x+a≥0在（0，+∞）上恒成立，即在（0，+∞）上恒成立，∵，∴a≥1，此时函数在（0，+∞）上单调递增；
②若f′（x）≤0，则ax2-2x+a≤0在（0，+∞）上恒成立，即在（0，+∞）上恒成立，∵，∴a≤0，此时函数在（0，+∞）上单调递减；
综上，a≥1或a≤0；
（II）g（x）=在[1，e]上是减函数，且g（x）∈[2，2e]．
①a≤0时，函数f（x）在[1，e]上是减函数，此时f（x）max=f（1）=0，不合题意；
②a≥1时，函数f（x）在[1，e]上是增函数，由题意，f（e）＞g（e）
∴
∴；
②当0＜a＜1时，∵∴f（x）=ax-2lnx-≤≤-2＜2，不合题意
综上，．