Question

如图，在七面体ABCDMN中，四边形ABCD是边长为2的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD=2，NB=1，MB与ND交于P点．
（I）在棱AB上找一点Q，使QP∥平面AMD，并给出证明；
（Ⅱ）求平面BNC与平面MNC所成锐二面角的余弦值．

Answer

（I）设Q为AB上的一点，满足BQ=AB．由线面平行的性质证出MD∥NB，结合题中数据利用平行线的性质，得到，从而在△MAB中得到QP∥AM．最后利用线面平行判定定理，证出QP∥平面AMD，说明在棱AB上存在满足条件的点；
（II）建立如图所示空间直角坐标系，算出向量、和的坐标．利用垂直向量数量积为0的方法建立方程组，算出=（1，-2，-2）为平面CMN的一个法向量．根据线面垂直的判定定理证出DC⊥平面BNC，从而得到=（0，2，0）是平面BNC的一个法向量，最后用空间向量的夹角公式加以计算，即可算出平面BNC与平面MNC所成锐二面角的余弦值．
【解析】
（I）当AB上的点满足BQ=AB时，满足QP∥平面AMD，
∵MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，∴MD∥NB．
∴，且，
∴，在△MAB中，可得QP∥AM．
又∵QP⊄平面AMD，AM⊂平面AMD．
∴QP∥平面AMD，即存在棱AB上找一点Q，当BQ=AB时，有QP∥平面AMD；
（II）以DA、DC、DM所在直线分别为x、y、z轴，建立如图所示空间直角坐标系
可得D（0，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），M（0，0，2），N（2，2，1）
∴=（0，-2，2），=（2，0，1），=（0，2，0）
设平面CMN的一个法向量为=（x，y，z）
∴，取z=-2，得x=1，y=-2
由此可得=（1，-2，-2）为平面CMN的一个法向量
∵NB⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴NB⊥CD
又∵BC⊥CD，BC∩NB=B
∴DC⊥平面BNC，可得=（0，2，0）是平面BNC的一个法向量
∵cos＜，＞===
∴平面BNC与平面MNC所成锐二面角的余弦值等于．