Question

已知数列{a_n}是各项均为为0的等差数列，S_n为其前n项和，且满足S_2n-1=．数列{b_n}满足b_n=，T_n为数列{b_n}的前n项和．
（I）求a_n，b_n；
（Ⅱ）试比较T_2n与2n²+的大小．

Answer

（I）设数列{an}的首项为a1，公差为d，解关于a1与d的方程组，可求得a1=2，d=4，从而可求an，继而可求bn；
（Ⅱ）通过分组求和的方法可求得T2n，然后将T2n与2n2+作差，T2n-（2n2+）=（4n-4n-1），验证n=1，2，3，时的符号，从而作出猜想，再用数学归纳法证明即可．
【解析】
（I）设数列{an}的首项为a1，公差为d，
在S2n-1=中，令n=1，2，得即…2分
解得a1=2，d=4，d=-2（舍去），
∴an=4n-2…4分
∴bn=…5分
（Ⅱ）T2n=1+2×2-3+22+2×4-3+24+…+22n-2+2×2n-3…9分
=1+22+24+…+22n-2+4（1+2+…+n）-3n
=+4•-3n
=-+2n2-n…8分
∴T2n-（2n2+）=（4n-4n-1），
当n=1时，（4n-4n-1）=-＜0；
当n=2时，（4n-4n-1）=＞0；
当n=3时，（4n-4n-1）=＞0；
…
猜想当n≥2时，T2n＞2n2+，即n≥2时，4n＞4n+1．
下面用数学归纳法证明：
①当n=2时，42=16，4×2+1=9，16＞9，成立；
②假设当n=k（k≥2）时成立，即4k＞4k+1．
则当n=k+1时，4k+1=4•4k＞4（4k+1）=16k+4＞4k+5=4（k+1）+1，
∴n=k+1时成立．
由①②得，当n≥2时，4n＞4n+1成立…11分
综上，当n=1时，T2n＜2n2+，
当n≥2时，T2n＞2n2+…12分