Question

设函数f（x）=lnx+．
（I）若函数f（x）的图象上任意一点P（x，y）处切线的斜率k≤，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）当a=0时，若x₁，x₂∈R，且x₁≠x₂，证明：；
（Ⅲ）当a=0时，若方程m[f（x）+g（x）]=（m＞0）有唯一解，求m的值．

Answer

（I）由已知，k=f′（x）=在（0，+∞）上恒成立，只需a≥（）max，
（Ⅱ）（Ⅱ）当a=0时，F（x）=f（1+ex）-g（x）=ln（1+ex）-x，（x∈R），利用作差法，判断的正负号，进行证明．
（Ⅲ）当a=0时，方程m[f（x）+g（x）]=（m＞0）有唯一解，即为x2-2mlnx-2mx=0有唯一解，
设H（x）=x2-2mlnx-2mx，利用导数研究解决．
【解析】
（I）函数f（x）的定义域为（0，+∞），由题意k=f′（x）=在（0，+∞）上恒成立．，所以a≥（）max，当x0=1时，
（）max=，∴a
（Ⅱ）当a=0时，F（x）=f（1+ex）-g（x）=ln（1+ex）-x，（x∈R），设x1，x2∈R，且x1＜x2，
则=ln（1+ex1）+ln（1+ex2）-x1-x2-2[ln（1+）-]
=ln（1+ex1）（1+ex2）-ln（1+）2
=ln（1+ex1+ex2+）-ln（1+2+ex1+x2），
∵ex1＞0，ex2＞0，且x1≠x2，∴+ex1+ex2＞=2，
1+ex1+ex2+）＞1+2+ex1+x2），
ln（1+ex1+ex2+）＞ln（1+2+ex1+x2），
∴＞0
即；
（Ⅲ）当a=0时，方程m[f（x）+g（x）]=（m＞0）有唯一解，即为x2-2mlnx-2mx=0有唯一解，
设（x）=x2-2mlnx-2mx，则H′（x）=，令H′（x）=0，则x2-mx-m=0，m＞0，x＞0，∴＜0（舍去），，
当x∈（0，x2）时，H′（x）＜0，H（x）在（0，x2）上单调递减
当x∈（x2，+∞）时，H′（x）＞0，H（x）在（x2，+∞）上单调递增．
当x=x2时，H（x）取最小值H（x2），则即两式相减得2mlnx2+mx2-m=0，∵m＞0，∴2lnx2+x2-1=0①，
设M（x）=2lnx+x-1，∵x＞0，M（x）是增函数，∴M（x）=0至多有一解．∵M（1）=0，∴方程①的解为x2=1，
即=1，解得m=．