Question

如图所示，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AB=2，BC=1，AA₁=，D为棱CC₁的中点．
（I）证明：A₁C⊥平面AB₁C₁；
（Ⅱ）设平面AB₁C₁与平面ABD所成的角为θ，求cosθ；
（Ⅲ）在棱AB上是否存在一点E，使DE∥平面AB₁C₁？证明你的结论．

Answer

（I）先证明BC⊥平面ACC1A1，可得B1C1⊥A1C，再证明A1C⊥AC1，可得A1C⊥平面AB1C1；
（II）建立空间直角坐标系，求出平面ABD的法向量，利用向量的夹角公式，即可得出结论；
（III）当点E为棱AB的中点时，DE∥平面AB1C1．证明平面EFD∥平面AB1C1即可．
（I）证明：∵∠ACB=90°，∴BC⊥AC
∵三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱，∴BC⊥CC1，
∵AC∩CC1=C
∴BC⊥平面ACC1A1，
∵A1C⊂平面ACC1A1，
∴BC⊥A1C
∵BC∥B1C1，则B1C1⊥A1C
∵Rt△ABC中，AB=2，BC=1，∴AC=
∵AA1=，四边形ACC1A1为正方形
∴A1C⊥AC1，
∵B1C1∩AC1=C1，
∴A1C⊥平面AB1C1；
（Ⅱ）【解析】
如图建立空间直角坐标系，则A（0，0，），C（0，0，0），B（1，0，0），，，，
由（ I）可知平面AB1C1的法向量为=（）
设=（x，y，z）为平面ABD的法向量．
∵=（1，0，-），
∴
令z=1，则，y=2
∴=（，2，1）
∴cos＜＞==
∴cosθ=；
（ III）【解析】
当点E为棱AB的中点时，DE∥平面AB1C1．
证明如下：
如图，取BB1的中点F，连EF，FD，DE
∵D，E，F分别为CC1，AB，BB1的中点；
∴EF∥AB1，
∵AB1⊂平面AB1C1，EF⊄平面AB1C1，
∴EF∥平面AB1C1，
同理可证FD∥平面AB1C1，
∵EF∩FD=F
∴平面EFD∥平面AB1C1，
∵DE⊂平面EFD
∴DE∥AB1C1．