Question

设椭圆C：为椭圆的焦点，它到直线的距离及椭圆的离心率均为，直线l与y轴交于点P（0，m），与椭圆C交于相异两点A、B，且
（I）求椭圆方程；
（Ⅱ）若，求m的取值范围．

Answer

（I）由已知及其a2=b2+c2即可得出；
（II）利用向量相等及其根与系数的关系即可得出m的取值范围．
【解析】
（ I）由条件知，解得，a=1．
故椭圆C的方程为y2+2x2=1．
（ II）由得，化为．
∴1+λ=4，解得λ=3．
设直线l 与椭圆C交点为A（x1，y1），B（x2，y2）．
联立得（k2+2）x2+2kmx+m2-1=0．
△=（2km）2-4（k2+2）（m2-1）=4（k2-2m2+2）＞0．（*）
∴，．
∵，∴-x1=3x2，
∴，
消去x2，得，
∴．
整理得：4k2m2+2m2-k2-2=0，
时，上式不成立；
时，．
由（*）式得k2＞2m2-2
∴
∴或．
即所求m的取值范围为．