Question

已知函数f（x）=x²-ax+3在（0，1）上为减函数，函数g（x）=x²-alnx在区间（1，2）上为增函数．
（I）求a的值；
（Ⅱ）试判断方程f（x）=2g（x）+m（m＞-1）在（0，+∞）上解的个数，并说明理由．

Answer

（I）由题意知，f'（x）≤0在x∈（0，1）上恒成立以及g'（x）≥0在x∈（1，2）上恒成立，进而求出a的值；
（Ⅱ）令，得到函数h（x）的最小值，再对m分类讨论，即可得到方程f（x）=2g（x）+m（m＞-1）在（0，+∞）上解的个数．
【解析】
（I）∵函数f（x）=x2-ax+3在（0，1）上为减函数，
依题意f'（x）≤0在x∈（0，1）上恒成立，
得2x≤a在x∈（0，1）上恒成立，
∴a≥2…（2分）
又∵，依题意g'（x）≥0在x∈（1，2）上恒成立，
得2x2≥a在x∈（1，2）上恒成立，有a≤2，
∴a=2…（6分）
（Ⅱ）

当x∈（0，1）时，h'（x）＜0，h（x）在（0，1）上为减函数；
当x∈（1，+∞）时，h'（x）＞0，h（x）在（1，+∞）上为增函数．
∴hmin（x）=h（1）=m
∴h（x）≥h（1）=m，即2g（x）+m-f（x）≥m…（8分）
①当m＞0时，

②当m=0时，2g（x）≥f（x），当且仅当x=1时，2g（x）=f（x），
∴f（x）=2g（x）+m在（0，+∞）上仅有一个解x=1；…（11分）
③当-1＜m＜0时，

∴h（x）在和（1，e）内各有一个零点，即f（x）=2g（x）+m在（0，+∞）上有二个解．…（14分）