Question

如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，且BD：DC：AD=2：3：6．
（Ⅰ）求∠BAC的大小；
（Ⅱ）已知△ABC的面积为15，且E为AB的中点，求CE的长．

Answer

（I）根据直角三角形中正切的定义，得到tan∠DAC=且tan∠DAC=，利用和的正切公式算出tan∠BAC=1，从而得到∠BAC的大小为；
（II）根据三角形的面积公式，结合BD：DC：AD=2：3：6算出BD=2、DC=3、AD=6，从而得到AB、AC之长，最后利用三角形中线的性质即可算出CE的长．
【解析】
（I）∵AD⊥BC，DC：AD=3：6
∴Rt△ACD中，tan∠DAC==
同理可得Rt△ABD中，tan∠DAC=
因此，tan∠BAC==1
∵∠BAC∈（0，π），∴∠BAC的大小；
（II）设BD=2t（t＞0），则DC=3t，AD=6t
由已知得△ABC的面积S=BC•AD=15t2=15，解之得t=1
故BD=2，DC=3，AD=6
∴AB==2，AC==3
∵CE是△ABC的中线
∴AB2+（2CE）2=2（AC2+BC2），
可得（2）2+4CE2=2[（3）2+52]，解之得CE=5．