Question

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若a₁=3，S₆-S₂=27．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若S_n，2（a_n+1+1），S_n+2成等比数列，求正整数n的值．

Answer

（1）根据S6-S2=3a4=求出a4的值，进而求出公差d，即可求出通项公式；
（2）根据（1）求出Sn=n2+2n，再由Sn，2（an+1+1），Sn+2成等比数列得出Sn•Sn+2=8（an+1+1）2求出n的值．
【解析】
（1）∵S6-S2=a3+a4+a5=3a4=27
∴a4=9
∵a1=3
∴d=2
an=2n+1
（2）Sn=n2+2n
由已知得Sn•Sn+2=8（an+1+1）2
∴n（n+2）2（n+4）=8（2n+4）2
化简得n2+4n-32=0
解得：n=4或-8（舍）
所以n的值4．