Question

如图，在三棱锥A-BCD中，∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°，AC=6，BC=CD=6，设顶点A在底面BCD上的射影为E．
（1）求证：BC=DE；
（2）求CE与平面ACD所成角的大小．

Answer

（1）由E是顶点A在底面BCD上的射影，得到AE垂直于底面，所以AE⊥CD，结合已知可证得CD垂直于平面AED，则CD⊥ED，同理得到BC⊥BE，再利用边的关系得到BCDE为正方形，则问题得证；
（2）取AD的中点H，则EH⊥AD，连接CH，可得∠ECH是直线CE与平面ACD所成的角，即可得出结论．
（1）证明：如图，
因为顶点A在底面BCD上的射影为E，所以AE⊥平面BCD，则AE⊥CD，
又AD⊥CD，且AE∩AD=A，则CD⊥平面AED，
又DE⊂平面AED，故CD⊥DE，
同理可得CB⊥BE，则四边形BCDE为矩形，又BC=CD，
则四边形BCDE为正方形，故BC=DE．
（2）【解析】
由已知可得AD=6，AE=ED=6，取AD的中点H，则EH⊥AD，连接CH
则∵CD⊥平面AED，∴CD⊥EH
∴EH⊥平面ACD
∴∠ECH是直线CE与平面ACD所成的角
∵
∴sin∠ECH==
∴∠ECH=30°，
即直线CE与平面ACD所成的角30°．