Question

如图1，在直角梯形ABCP中，AP∥BC，AP⊥AB，AB=BC=AP=2，D为AP的中点，E，F，G分别为PC、PD、CB的中点，将△PCD沿CD折起，使点P在平面ABCD上的射影为点D，如图2．
（I）求证：AP∥平面EFG；
（Ⅱ）求二面角E-FG-D的一个三角函数值．

Answer

（I）利用E、F、G分别是PC、PD、BC的中点，可得EF∥CD，EG∥PB，利用面面平行的判定定理，即可得出结论；
（II）建立空间直角坐标系，求出平面DFG的法向量、平面EFG得法向量，利用向量的夹角公式，即可得出结论．
（I）证明：由题意，△PCD折起后PD⊥平面ABCD，四边形ABCD是边长为2的正方形，PD=2．
∵E、F、G分别是PC、PD、BC的中点，
∴EF∥CD，EG∥PB．
又CD∥AB，∴EF∥AB，PB∩AB=B，…（3分）
∴平面EFG∥平面PAB．…（5分）
（II）【解析】
建立空间直角坐标系D-xyz，如图，则D（0，0，0），F（0，0，1），G（1，2，0），E（0，1，1），=（0，1，0），=（1，2，0），=（0，-1，0），=（1，1，-1）…（6分）
设平面DFG的法向量为，
则∴，
令y1=1得=（-2，1，0）．…（8分）
设平面EFG得法向量为，
则∴，
令z2=1得=（1，0，1），…（10分）
∴．
设二面角E-FG-D为θ，则θ=，
所以，二面角E-FG-D的余弦值为．…（12分）