Question

某次象棋比赛的决赛在甲乙两名棋手之间举行，比赛采用积分制，比赛规则规定赢一局得2分，平一局得1分，输一局得0分；比赛共进行五局，积分有超过5分者比赛结束，否则继续进行．根据以往经验，每局甲赢的概率为，乙赢的概率为，且每局比赛输赢互不受影响．若甲第n局赢、平、输的得分分别记为a_n=2、a_n=1、a_n=0n∈N^*，1≤n≤5，令S_n=a₁+a₂+…+a_n．
（Ⅰ）求S₃=5的概率；
（Ⅱ）若随机变量ξ满足S_ξ=7（ξ表示局数），求ξ的分布列和数学期望．

Answer

（I）S3=5，即前3局甲2胜1平，由独立重复试验的概率求解即可．
（II）Sξ=7时，表示甲的得分之和为7，故ξ=4，5，且最后一局甲赢，已的得分之和不超过5，
ξ=4时前三局中赢两局平一局，第四局赢；
ξ=5时前四局中甲赢两局平一局输一局或赢一局平三局，第五局赢．
 利用独立重复试验的概率分别求概率，列出分布列，再由期望的公式求期望即可．
【解析】
（I）S3=5，即前3局甲2胜1平．
由已知甲赢的概率为，平的概率为，输的概率为，
得S3=5得概率为．
（II）Sξ=7时，ξ=4，5，且最后一局甲赢，
；
．
ξ的分布列为

∴