Question

若双曲线的两个焦点为F₁，F₂，P为双曲线上一点，且|PF₁|=3|PF₂|，则该双曲线离心率的取值范围是    ．

Answer

先根据双曲线定义可知|PF1|-|PF2|=2a进而根据|PF1|=3|PF2|，求得a=|PF2|，同时利用三角形中两边之和大于第三边的性质，推断出，|F1F2|＜|PF1|+|PF2|，进而求得a和c的不等式关系，分析当p为双曲线顶点时，=2且双曲线离心率大于1，可得最后答案．
解根据双曲线定义可知|PF1|-|PF2|=2a，即3|PF2|-|PF2|=2a．
∴a=|PF2|．|PF1|=3a
在△PF1F2中，|F1F2|＜|PF1|+|PF2|，
2c＜4|PF2||，c＜2|PF2|=2a，
∴＜2，
当p为双曲线顶点时，=2
又∵双曲线e＞1，
∴1＜e≤2
故答案为：1＜e≤2．