Question

已知点A（-1，0），B（1，-1），抛物线C：y²=4x，O为坐标原点，过点A的动直线l交抛物线C于M，P，直线MB交抛物线C于另一点Q．
（I）若向量与的夹角为，求△POM的面积；
（Ⅱ）证明直线PQ恒过一个定点．

Answer

（I）设点p，M，A三点共线进而可知AM和PM的斜率相等求得y1y2=4进而根据向量积的运算和两向量的夹角，求得的值，进而利用三角形面积公式求得三角形POM的面积．
（II）设出Q的坐标，根据M，B，Q共线，利用BQ和QM的斜率相等利用点的坐标求得y1y3+y1+y3+4=0．，把y1y2=4代入求得y2和y3的关系式，表示出PQ的斜率，进而可表示出直线PQ的方程，进而利用4（y2+y3）+y2y3+4=0求得（y+4）（y2+y3）=4（x-1），进而可推断出直线PQ过定点．
【解析】
（I）设点p，M，A三点共线，∴kAM=kPM，
即，即，∴y1y2=4，
∴．
∵向量与的夹角为45°，∴，
∴．
（II）设点，y3），
∵M，B，Q三点共线，∴kBQ=kQM，
即，即，
∴（y3+1）（y1+y3）=y32-4，即y1y3+y1+y3+4=0．
∵y1y2=4，即，∴，
即4（y2+y3）+y2y3+4=0．（*）∵，
∴直线PQ的方程是，
即（y-y2）（y2+y3）=4x-y22，即y（y2+y3）-y2y3=4x．
由（*）式，-y2y3=4（y2+y3）+4，代入上式，得（y+4）（y2+y3）=4（x-1）．
由此可知直线PQ过定点E（1，-4）．