Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c和“伪二次函数”g（x）=ax²+bx+clnx（a、b、c∈R，abc≠0），
（I）证明：只要a＜0，无论b取何值，函数g（x）在定义域内不可能总为增函数；
（Ⅱ）在二次函数f（x）=ax²+bx+c图象上任意取不同两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），线段AB中点的横坐标为x，记直线AB的斜率为k，（i）求证：k=f′（x）；（ii）对于“伪二次函数”g（x）=ax²+bx+clnx，是否有（i）同样的性质？证明你的结论．

Answer

（I）利用导数判断函数的单调性，证明函数g（x）在定义域内不可能总为增函数；
（Ⅱ）根据定义，利用导数的运算求k，并证明“伪二次函数”g（x）=ax2+bx+clnx，是否有（i）同样的性质．
【解析】
（I）函数的定义域为（0，+∞），要使函数g（x）在定义域内总为增函数，
则恒成立，①--------（1分）
当x＞0时恒成立，则2ax2+bx+c＞0 ②
因为a＜0，由二次函数的性质，②不可能恒成立．
则函数g（x）不可能总为增函数．--------（4分）
（II）（i）=a（x2+x1）+b=2ax+b，--------（6分）
由f'（x）=2ax+b，所以f'（x）=2ax+b，…..（7分）  
则k=f′（x）．--------（7分）
（ii）不妨设x2＞x1，对于“伪二次函数”：g（x）=ax2+bx+clnx，
=，③--------（9分）
由（ⅰ）中①知，
如果有（ⅰ）的性质，则g'（x）=k，④，
比较③④两式得，c≠0，
即：--------（12分）
不妨令，则，即⑤，
设，则，
∴s（t）在（1，+∞）上递增，∴s（t）＞s（1）=0．
∴⑤式不可能成立，④式不可能成立，即g'（x）≠k．--------（14分）
∴“伪二次函数”g（x）=ax2+bx+clnx，不具有（ⅰ）的性质．--------（15分）