Question

如图，在七面体ABCDMN中，四边形ABCD是边长为2的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD=2，NB=1，MB与ND交于P点，点Q在AB上，且BQ=．
（I）求证：QP∥平面AMD；
（Ⅱ）求七面体ABCDMN的体积．

Answer

（I）由MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，利用线面垂直的性质可得MD∥NB．进而得到，又已知=，可得，于是在△MAB中，QP∥AM．再利用线面平行的性质即可得出QP∥平面AMD．
（II）连接BD，AC交于点O，则AC⊥BD．又MD⊥平面ABCD，利用线面垂直的性质可得MD⊥AC，再利用线面垂直的判定即可得出AC⊥平面MNBD．于是AO为四棱锥A-MNBD的高，进而得到VA-MNBD的体积．即可得出V几何体ABCDMN=2VA-MNBD．
（I）证明：∵MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，
∴MD∥NB．
∴，又=，
∴，
∴在△MAB中，QP∥AM．
又QP⊄平面AMD，AM⊂平面AMD．
∴QP∥平面AMD．
（II）连接BD，AC交于点O，则AC⊥BD．
又MD⊥平面ABCD，∴MD⊥AC，又BD∩MD=D，
∴AC⊥平面MNBD．
∴AO为四棱锥A-MNBD的高，又=．
∴=2．
∴V几何体ABCDMN=2VA-MNBD=4．