Question

已知函数f（x）=a（x-）-2lnx，g（x）=x²．
（I）若函数f（x）在其定义域上为增函数，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若函数f（x）与g（x）的图象在其一公共点处存在公切线，证明：．

Answer

（I）求函数的导数，若函数f（x）在其定义域上为增函数，则f'（x）≥0恒成立，然后求实数a的取值范围；
（Ⅱ）利用导数的几何意义求函数f（x）与g（x）的共切线，然后证明等式．
【解析】
（I）函数f（x）的定义域为（0，+∞），函数的导数为=．
要使函数f（x）在其定义域上为增函数，f'（x）≥0恒成立，即ax2-2x+a≥0，在（0，+∞）上恒成立．
即在（0，+∞）上恒成立．
因为，当且仅当x=1时取等号，所以a≥1．
（Ⅱ）因为函数的导数为=，
g'（x）=2x，令，
即2x3-ax2+2x-a=0，所以x2（2x-a）+2x-a=0，即（x2+1）（2x-a）=0，
所以2x-a=0，x=．
因为f（x）=a（x-）-2lnx，
则，
对于g（x）=x2．则．
因为，所以，即．
所以，
即，
解得，
所以，成立．