Question

在△ABC中，a、b、c分别是A、B、C的对边．若向量=（2，0）与=（sinB，1-cosB）所成角为．
（I）求角B的大小；
（Ⅱ）若b=，求a+c的最大值．

Answer

（I）利用向量的数量积的坐标运算可求得=，继而可求得cosB=-，从而可知△ABC中角B的大小；
（Ⅱ）由（I）知B=，于是A+C=，利用正弦定理可知====2，从而a+c=2sinA+2sinC整理可得a+c=2sin（A+），继而可求其最大值．
【解析】
（I）由题意得cos===，…（2分）
即=，
∴2sin2B=1-cosB，2cos2B-cosB-1=0，…（4分）
∴cosB=-或cosB=1（舍去），…（5分）
∵0＜B＜π，
∴B=．…（6分）
（II）由（I）知A+C=，
而====2，…（7分）
∴a+c=2sinA+2sinC…（8分）
=2[sinA+sin（-A）]
=2（sinA+cosA-sinA）
=2sin（A+），…（9分）
∵0＜A＜，
∴＜A+＜．…（10分）
∴＜sin（A+）≤1，
∴a+c=2sin（A+）∈（，2]，
故a+c的最大值为2．…（12分）