Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n，对一切正整数n，点（n，S_n）都在函数f（x）=2^x+2-4的图象上．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=a_n•log₂a_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer

（I）要求数列的通项公式，当n大于等于2时可根据数列的前n项的和减去数列的前n-1项的和求出，然后把n=1代入验证；
（II）要求数列{bn}的前n项和Tn．可先求出该数列的通项公式，列举出数列的各项，然后利用错位相减法得到数列的前n项的和即可．
【解析】
（I）由题意，Sn=2n+2-4，n≥2时，
an=Sn-Sn-1=2n+2-2n+1=2n+1
当n=1时，a1=S1=23-4=4，也适合上式
∴数列{an}的通项公式为an=2n+1，n∈N*；
（II）∵bn=anlog2an=（n+1）•2n+1，
∴Tn=2•22+3•23+4•24+…+n•2n+（n+1）•2n+1①
2Tn=2•23+3•24+4•25+…+n•2n+1+（n+1）•2n+2②
②-①得，Tn=-23-23-24-25-…-2n+1+（n+1）•2n+2
=
=-23-23（2n-1-1）+（n+1）•2n+2=（n+1）•2n+2-23•2n-1
=（n+1）•2n+2-1n+2=n•2n+2．