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设,其中f(x)=lnx,且g(e)=.(e为自然对数的底数) (I)求p与q的...

manfen5.com 满分网,其中f(x)=lnx,且g(e)=manfen5.com 满分网.(e为自然对数的底数)
(I)求p与q的关系;
(Ⅱ)若g(x)在其定义域内为单调函数,求p的取值范围;
(Ⅲ)证明:
①f(1+x)≤x(x>-1);
manfen5.com 满分网(n∈N,n≥2).
对于(I)求p与q的关系;因为由已知可以很容易求出函数g(x)的表达式,在把x=e代入函数得关系式,化简即可得到答案. 对于(II)若g(x)在其定义域内为单调函数,求p的取值范围;因为已知g(x)的函数表达式,可以直接求解导函数,当导函数恒大于等于0,或者恒小于等于0的时候,即单调.故可分类讨论当p=0,p>0,p<0时满足函数单调的p的值,求它们的并集即可得到答案. 对于(III)证明:①f(1+x)≤x(x>-1),可根据函数的单调性直接证明. ②(n∈N,n≥2).因为由①知lnx≤x-1,又x>0,所以有,令x=n2, 得到不等式..代入原不等式化简求解即可得到答案. 【解析】 (I)由题意, 又g(e)=,∴, ∴,∴, 而,∴p=q (II)由(I)知:,, 令h(x)=px2-2x+p.要使g(x)在(0,+∞)为单调函数,只需h(x)在(0,+∞)满足: h(x)≥0或h(x)≤0恒成立. ①p=0时,h(x)=-2x,∵x>0,∴h(x)<0,∴g'(x)=, ∴g(x)在(0,+∞)单调递减,∴p=0适合题意. ②当p>0时,h(x)=px2-2x+p图象为开口向上抛物线, 称轴为x=∈(0,+∞).∴h(x)min=p-.只需p-≥0,即p≥1时h(x)≥0,g′(x)≥0, ∴g(x)在(0,+∞)单调递增,∴p≥1适合题意. ③当p<0时,h(x)=px2-2x+p图象为开口向下的抛物线,其对称轴为x=∉(0,+∞), 只需h(0)≤0,即p≤0时h(0)≤(0,+∞)恒成立. ∴g′(x)<0,∴g(x)在(0,+∞)单调递减,∴p<0适合题意. 综上①②③可得,p≥1或p≤0. (III)证明:①即证:lnx-x+1≤0(x>0), 设k(x)=lnx-x+1,则k'(x)=. 当x∈(0,1)时,k′(x)>0,∴k(x)为单调递增函数; 当x∈(1,∞)时,k′(x)<0,∴k(x)为单调递减函数; ∴x=1为k(x)的极大值点,∴k(x)≤k(1)=0.即lnx-x+1≤0, 所以lnx≤x-1得证. ②由①知lnx≤x-1,又x>0, ∴∵n∈N*,n≥2时,令x=n2, 得. ∴, ∴ = = == 所以得证.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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