Question

设，其中f（x）=lnx，且g（e）=．（e为自然对数的底数）
（I）求p与q的关系；
（Ⅱ）若g（x）在其定义域内为单调函数，求p的取值范围；
（Ⅲ）证明：
①f（1+x）≤x（x＞-1）；
②（n∈N，n≥2）．

Answer

对于（I）求p与q的关系；因为由已知可以很容易求出函数g（x）的表达式，在把x=e代入函数得关系式，化简即可得到答案．
对于（II）若g（x）在其定义域内为单调函数，求p的取值范围；因为已知g（x）的函数表达式，可以直接求解导函数，当导函数恒大于等于0，或者恒小于等于0的时候，即单调．故可分类讨论当p=0，p＞0，p＜0时满足函数单调的p的值，求它们的并集即可得到答案．
对于（III）证明：①f（1+x）≤x（x＞-1），可根据函数的单调性直接证明．
②（n∈N，n≥2）．因为由①知lnx≤x-1，又x＞0，所以有，令x=n2，
得到不等式．．代入原不等式化简求解即可得到答案．
【解析】
（I）由题意，
又g（e）=，∴，
∴，∴，
而，∴p=q
（II）由（I）知：，，
令h（x）=px2-2x+p．要使g（x）在（0，+∞）为单调函数，只需h（x）在（0，+∞）满足：
h（x）≥0或h（x）≤0恒成立．
①p=0时，h（x）=-2x，∵x＞0，∴h（x）＜0，∴g'（x）=，
∴g（x）在（0，+∞）单调递减，∴p=0适合题意．
②当p＞0时，h（x）=px2-2x+p图象为开口向上抛物线，
称轴为x=∈（0，+∞）．∴h（x）min=p-．只需p-≥0，即p≥1时h（x）≥0，g′（x）≥0，
∴g（x）在（0，+∞）单调递增，∴p≥1适合题意．
③当p＜0时，h（x）=px2-2x+p图象为开口向下的抛物线，其对称轴为x=∉（0，+∞），
只需h（0）≤0，即p≤0时h（0）≤（0，+∞）恒成立．
∴g′（x）＜0，∴g（x）在（0，+∞）单调递减，∴p＜0适合题意．
综上①②③可得，p≥1或p≤0．
（III）证明：①即证：lnx-x+1≤0（x＞0），
设k（x）=lnx-x+1，则k'（x）=．
当x∈（0，1）时，k′（x）＞0，∴k（x）为单调递增函数；
当x∈（1，∞）时，k′（x）＜0，∴k（x）为单调递减函数；
∴x=1为k（x）的极大值点，∴k（x）≤k（1）=0．即lnx-x+1≤0，
所以lnx≤x-1得证．
②由①知lnx≤x-1，又x＞0，
∴∵n∈N*，n≥2时，令x=n2，
得．
∴，
∴
=
=
==
所以得证．