Question

为加强环保建设，提高社会效益和经济效益，某市计划用若干年时间更换一万辆燃油型公交车，每更换一辆新车，则淘汰一辆旧车，替换车为电力型和混合动力型车，今年初投入了电力型公交车128辆，混合动力型公交车400辆；计划以后电力型车每年的投入量比上一年增加50%，混合动车型车每年比上一年多投入a辆．
（1）求经过n年，该市被更换的公交车总数S（n）；
（2）若该市计划7年内完成全部更换，求a的最小值．

Answer

（1）设an，bn分别为第n年投入的电力型公交车，混合动力型公交车的数量，依题意，{an}是首项为128，公比为1+50%=的等比数列，{bn}是首项为400，公差为a的等差数列，由此可求出经过n年，该市被更换的公交车总数S（n）．
（2）若计划7年内完成全部更换，所以S（7）≥10000所以．由此能求出a的最小值．
【解析】
（1）设an，bn分别为第n年投入的电力型公交车，混合动力型公交车的数量，
依题意，{an}是首项为128，公比为1+50%=的等比数列，{bn}是首项为400，公差为a的等差数列，{an}的前n项和{bn}的前n项和
所以经过n年，该市更换的公交车总数为：（7分）
（2）若计划7年内完成全部更换，
所以S（7）≥10000
所以
即21a≥3082，所以
又a∈N*，所以a的最小值为147．（13分）