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各项均为正数的数列{an}中,a1=1,Sn是数列{an}的前n项和,对任意n∈...

各项均为正数的数列{an}中,a1=1,Sn是数列{an}的前n项和,对任意n∈N*,有2Sn=2pan2+pan-p(p∈R)
(1)求常数p的值;
(2)求数列{an}的通项公式;
(3)记bn=manfen5.com 满分网,求数列{bn}的前n项和T.
(1)根据a1=1,对任意的n∈N*,有2Sn=2pan2+pan-p,令n=1,解方程即可求得结果; (2)由2Sn=2an2+an-1,知2Sn-1=2an-12+an-1-1,(n≥2),所以(an-an-1-1)(an+an-1)=0,由此能求出数列{an}的通项公式. (3)根据求出数列{bn}的通项公式,利用错位相减法即可求得结果. 【解析】 (1)∵a1=1,对任意的n∈N*,有2Sn=2pan2+pan-p ∴2a1=2pa12+pa1-p,即2=2p+p-p,解得p=1; (2)2Sn=2an2+an-1,① 2Sn-1=2an-12+an-1-1,(n≥2),② ①-②即得(an-an-1-)(an+an-1)=0, 因为an+an-1≠0,所以an-an-1-=0, ∴ (3)2Sn=2an2+an-1=2×, ∴Sn=, ∴=n•2n Tn=1×21+2×22+…+n•2n③ 又2Tn=1×22+2×23+…+(n-1)•2n+n2n+1 ④ ④-③Tn=-1×21-(22+23+…+2n)+n2n+1=(n-1)2n+1+2 ∴Tn=(n-1)2n+1+2
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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