Question

设命题P：函数f（x）=（a＞0）在区间（1，2）上单调递增；命题Q：不等式|x-1|-|x+2|＜4a对任意x∈R都成立．若“P或Q”是真命题，“P且Q”是假命题，则实数a的取值范围是（ ）
A．＜a≤1
B．≤a＜1
C．0＜a≤或a＞1
D．0＜a＜或a≥1

Answer

求出f（x）的导数，令导数大于等于0在（1，2）上恒成立，求出a的范围，即命题p为真命题时a的范围；通过绝对值的集合意义求出|x-1|-|x+2|的最小值，令最小值小于0，求出a的范围，即命题q为真命题时a的范围；有复合命题的真假判断出p，q的真假情况，求出a的范围．
【解析】
∵f（x）=x+，
∴f′（x）=，
∵f（x）在（1，2）上单调递增，
∴f′（x）=≥0在（1，2）恒成立．
∴a≤1
即若p真则a≤1．
∵不等式|x-1|-|x+2|＜4a对任意x∈R都成立，
所以|x-1|-|x+2|的最大值小于4a即可．
所以3＜4a，
所以a＞，
即若q真则有a＞，
∵“P或Q”是真命题，“P且Q”是假命题，
∴p，q中有一个真一个假，
所以当p真q假有 即0＜a≤；
当p假q真有 即a＞1
故若“P或Q”是真命题，“P且Q”是假命题，则实数a的取值范围：（0，]∪（1，+∞）．
故选C．