Question

如图，在直棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=AA₁，∠ACB=90°，G为BB₁的中点．
（Ⅰ）求证：平面A₁CG⊥平面A₁GC₁；
（Ⅱ）求平面ABC与平面A₁GC所成锐二面角的平面角的余弦值．

Answer

（I）证明CG⊥平面A1GC1，利用面面垂直的判定定理，即可证明平面A1CG⊥平面A1GC1；
（II）（法一）建立如图所示的空间坐标系，求出平面ABC与平面A1CG的法向量，利用向量的夹角公式，即可求得结论；
（法二）延长A1G、AB相交于P，过A作AF⊥PC交PC延长线于点F，连接A1F，证明∠AFA1为平行面ABC于平面A1CG所成二面角的平面角，即可得出结论．
（I）证明：在直棱柱ABC-A1B1C1中，有A1C1⊥CC1．
∵∠ACB=90°，∴A1C1⊥C1B1，即A1C1⊥平面C1CBB1，
∵CG⊂平面C1CBB1，∴A1C1⊥CG．┉┉┉┉┉┉┉┉（2分）
在矩形C1CBB1中，CC1=BB1=2BC，G为BB1的中点，
CG=BC，C1G=BC，CC1=2BC
∴∠CGC1=90，即CG⊥C1G┉┉┉┉┉┉┉┉（4分）
而A1C1∩C1G=C1，
∴CG⊥平面A1GC1．
∴平面A1CG⊥平面A1GC1．┉┉┉┉┉┉┉┉（6分）
（II）【解析】
（法一）由于CC1平面ABC，∠ACB=90°，建立如图所示的空间坐标系，设AC=BC=CC=a，则A（a，0，0），B（0，a，0）A1（a，0，2a），G（0，a，a）．
∴=（a，0，2a），=（0，a，a）．┉┉┉┉┉┉┉┉（8分）
设平面A1CG的法向量n1=（x1，y1，z1），
由得
令z1=1，n1=（-2，-1，1）．┉┉┉┉┉┉┉┉（9分）
又平面ABC的法向量为n2=（0，0，1）┉┉┉┉┉┉┉┉（10分）
设平面ABC与平面A1CG所成锐二面角的平面角为θ，
则┉┉┉┉┉┉┉┉（11分）
即平面ABC与平面A1CG所成锐二面角的平面角的余弦值为．┉┉┉（12分）
（法二）延长A1G、AB相交于P，过A作AF⊥PC交PC延长线于点F，连接A1F
∵AA1⊥平面ABC，AF⊥PC，∴A1F⊥PF
∴∠AFA1为平面ABC与平面A1CG所成二面角的平面角．┉┉┉┉┉┉┉┉（8分）
由（I）知CG⊥A1G，∴△PGC～△PFA1，
设AC=BC=a，∴
由，
得┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉（10分）．
∴．┉┉┉┉┉（12分）