Question

在△ABC中，a，b，c分别为角A、B、C的对边，若=（，1），=（-2，cos2A+1），且．
（Ⅰ）求角A的度数；
（Ⅱ）当a=2，且△ABC的面积S=时，求边c的值和△ABC的面积．

Answer

（Ⅰ）△ABC中，利用两个向量垂直的性质可得可得 =（2cosA+1）（cosA-1）=0，求得cosA 的值，即可得到A的值．
（Ⅱ）由△ABC的面积S==ab•sinC，以及余弦定理cosC=，求得tanC的值，可得C的值，从而得到B的值．再由正弦定理求得c=2．根据△ABC的面积S=ac•sinB，运算求得结果．
【解析】
（Ⅰ）△ABC中，由=（，1），=（-2，cos2A+1），且，
可得 =-2+cos2A+1=cos（B+C）-1+cos2A+1=2cos2A-cosA-1=（2cosA+1）（cosA-1）=0，
∴cosA=- 或cosA=1（舍去），∴A=120°．
（Ⅱ）∵a=2，且△ABC的面积S==ab•sinC，由余弦定理可得 cosC=，
∴tanC=，∴C=30°，∴B=30．
再由正弦定理可得 ，即 =，解得c=2．
∴△ABC的面积S=ac•sinB==．