Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，且na_n+1=2S_n（n∈N^*）．
（I）证明数列是等比数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（II）数列{b_n}满足，，对任意n∈N^*，都有．若对任意的n∈N^*，不等式2ⁿ⁺¹b_ns_n＜3×2ⁿ⁺¹b_n+λn（n+2）恒成立，试求实数λ的取值范围．

Answer

（Ⅰ）可得（n-1）an=2Sn-1（n≥2），与原式相减得nan+1-（n-1）an=2an，可得（n≥2），由等比数列的定义可证，进而可得通项；（II）易得数列{bn}的通项公式，代入原式，不等式可化为λ＞对任意的n∈N*，恒成立，构造f（n）==1-，由f（n）的单调性可得范围，进而可得结论．
【解析】
（Ⅰ）∵nan+1=2Sn，∴（n-1）an=2Sn-1（n≥2），两式相减得nan+1-（n-1）an=2an，
∴nan+1=（n+1）an，即（n≥2），由a1=1，可得a2=2，
从而对任意 n∈N*，，又，即是首项公比均为1的数列，
所以=1×1n-1=1，故数列{an}的通项公式an=n（n∈N*）．（4分）
（II）在数列{bn}中，由，知数列{bn}是等比数列，且首项、公比均为，
∴数列{bn}的通项公式（6分）
故原不等式可化为（1-λ）n2+（1-2λ）n-6＜0对任意的n∈N*，恒成立，
变形可得λ＞对任意的n∈N*，恒成立，
令f（n）===1-=1-=1-，
由n+6≥7，单调递增且大于0，
∴f（n）单调递增，且当n→+∞时，f（n）→1，且f（n）＜1，故λ≥1
故实数λ的取值范围是[1，+∞）