Question

A、B两城相距100km，在两地之间距A城xkm处D地建一核电站给A、B两城供电，为保证城市安全，核电站距城市距离不得少于10km．已知供电费用与供电距离的平方和供电量之积成正比，比例系数λ=0.25，若A城供电量为20亿度/月，B城为10亿度/月．
（1）把两城市月供电总费用y表示成x的函数，并求其定义域；
（2）核电站建在距A城多远，才能使供电费用最小．（，结果保留一位小数）

Answer

（1）A城供电费用y1=0.25×20x2，B城供电费用y2=0.25×10（100-x）2，总费用y=y1+y2，整理即可；因为核电站距A城xkm，则距B城（100-x）km；由x≥10，且100-x≥10，得x的范围；
（2）因为函数y=7.5x2-500x+25000是二次函数，由二次函数的性质可得，x=-时，函数y取得最小值．
【解析】
（1）A城供电费用为：y1=0.25×20x2=5x2；
B城供电费用为：y2=0.25×10（100-x）2=2.5x2-500x+25000；
所以总费用为：y=y1+y2=5x2+（2.5x2-500x+25000）=7.5x2-500x+25000
因为核电站距A城xkm，则距B城（100-x）km；
∴x≥10，且100-x≥10，
解得，10≤x≤90；
所以，函数的定义域是{x|10≤x≤90}．
（2）因为函数y=7.5x2-500x+25000（其中10≤x≤90），
当x=-=时，此函数取得最小值；
所以，核电站建在距A城 km处，能使A、B两城月供电总费用最小．