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设f(n,p)=C2np(n,p∈N,p≤2n).数列{a(n,p)}满足a(1...

设f(n,p)=C2np(n,p∈N,p≤2n).数列{a(n,p)}满足a(1,p)+a(2,p)+…+a(n,p)=f(n,p).
(1)求证:{a(n,2)}是等差数列;
(2)求证:f(n,1)+f(n,2)+…+f(n,n)=22n-1+manfen5.com 满分网C2nn-1;
(3)设函数H(x)=f(n,1)x+f(n,2)x2+…+f(n,2n)x2n,试比较H(x)-H(a)与2n(1+a)2n-1(x-a)的大小.
(1)由a(1,p)+a(2,p)+…+a(n,p)=f(n,p),令p=2,得a(1,2)+a(2,2)+…+a(n,2)=f(n,2), a(1,2)+a(2,2)+…+a(n-1,2)=f(n-1,2)(n≥2,且n∈N*),由此能导出{a(n,2)}是等差数列. (2)设f(n,1)+f(n,2)+…+f(n,n)=C2n1+C2n2+…+C2nn=S,而C2n+C2n1+C2n2+C2n2n=22n,由此能够证明:S=22n-1+C2nn-1. (3)H(x)=f(n,1)x+f(n,2)x2+…+f(n,2n)x2n,=(1+x)2n-1,所以H(x)-H(a)=(1+x)2n-(1+a)2n. 为了比较H(x)-H(a)与2n(1+a)2n-1(x-a)的大小,即要判断(1+x)2n-(1+a)2n-2n(1+a)2n-1(x-a)的符号.由此能够比较H(x)-H(a)与2n(1+a)2n-1(x-a)的大小. 【解析】 (1)由a(1,p)+a(2,p)+…+a(n,p)=f(n,p), 令p=2,得 a(1,2)+a(2,2)+…+a(n,2)=f(n,2), a(1,2)+a(2,2)+…+a(n-1,2)=f(n-1,2)(n≥2,且n∈N*), 两式相减,得a(n,2)=C2n2-C2(n-1)2=4n-3, 且n=1时也成立. 所以a(n+1,2)-a(n,2)=4, 即{a(n,2)}是等差数列.            (5 分) (2)设f(n,1)+f(n,2)+…+f(n,n) =C2n1+C2n2+…+C2nn=S, 而C2n+C2n1+C2n2+C2n2n=22n, 又C2n2n-1=C2n1,C2n2n-2=C2n2,…,C2nn=C2nn, 所以2S+2C2nn=22n, 所以S=22n-1+C2nn-1.(10分) (3)H(x)=f(n,1)x+f(n,2)x2+…+f(n,2n)x2n =(1+x)2n-1, 所以H(x)-H(a)=(1+x)2n-(1+a)2n. 为了比较H(x)-H(a)与2n(1+a)2n-1(x-a)的大小, 即要判断(1+x)2n-(1+a)2n-2n(1+a)2n-1(x-a)的符号. 设X=1+x,A=1+a, 则上式即为X2n-A2n-2nA2n-1(X-A), 设F(X)=X2n-A2n-2nA2n-1(X-A), 其导数为F′(X)=2nX2n-1-2nA2n-1=2n(X2n-1-A2n-1). 当X≥A时,F′(X)≥0, 则F(X)是增函数, 所以F(X)≥F(A), 且当X=A时等号成立. 当X<A时,F′(X)<0, 则F(X)是减函数, 所以F(X)>F(A). 纵上所述,H(x)-H(a)≥2n(1+a)2n-1(x-a), 当且仅当x=a时等号成立.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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