Question

已知函数，其中x＞0，常数a∈R
（1）若函数f（x）在[1，+∞），上是单调函数，求a的取值范围
（2）若函数f（x）在[1，+∞）有最大值（其中e为无理数，约为2.71828），求a的值

Answer

（1）已知函数，求出其导数f（x）′，然后根据f（x）在[1，+∞），上是单调函数，说明函数f（x）在[1，+∞），有f（x）′＞0，从而求解；
（2）由题意根据（1）求出f（x）的单调区间，因为函数f（x）在[1，+∞）有最大值，讨论a的范围，确定最值落在哪个区间，从而求出a的值．
【解析】
（1）∵
若对x∈[1，+∞）恒成立，则对x∈[1，+∞）恒成立，∴a≥0
若对x∈[1，+∞）恒成立，则对x∈[1，+∞）恒成立，∴
∴当函数f（x）在[1，+∞）上是单调函数时，
∴所求a的取值范围为：；

（2）当a≥0时，函数f（x）在[1，+∞）上单调递增，所以f（x）在[1，+∞）无最大值．
当时，函数f（x）在[1，+∞）上单调递减，所以由，得
当时，由得ax2+x-1＞0，则α＜x＜β
（其中）
∴函数f（x）在[1，α]上单调递减，在[α，β]上单调递增，在[β，+∞]上单调递减，
由，得，不符要求．
由，得，
又∵代入得
设函数，则
所以函数h（x）在（2，+∞）上单调递增，而h（e）=0
∴β=e，所以∴时，
函数f（x）在[1，+∞）有最大值．