Question

已知抛物线y²=2px（p＞0），焦点为F，一直线l与抛物线交于A、B两点，且|AF|+|BF|=8，且AB的垂直平分线恒过定点S（6，0）
①求抛物线方程；
②求△ABS面积的最大值．

Answer

①利用点差法，确定AB中点M的坐标，分类讨论，根据AB的垂直平分线恒过定点S（6，0），即可求抛物线方程；
②分类讨论，求出△ABS面积的表达式，即可求得其最大值．
【解析】
①设A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点M（x，y）
当直线的斜率存在时，设斜率为k，则由|AF|+|BF|=8得x1+x2+p=8，∴
又得，∴
所以
依题意，∴p=4
∴抛物线方程为y2=8x----（6分）
当直线的斜率不存在时，2p=8，也满足上式，∴抛物线方程为y2=8x
②当直线的斜率存在时，由M（2，y）及，
令y=0，得
又由y2=8x和得：
∴
∴----（12分）
当直线的斜率不存在时，AB的方程为x=2，|AB|=8，△ABS面积为
∵，∴△ABS面积的最大值为．