Question

已知中心在原点，顶点A₁、A₂在x轴上，离心率e=的双曲线过点P（6，6）．
（1）求双曲线方程．
（2）动直线l经过△A₁PA₂的重心G，与双曲线交于不同的两点M、N，问：是否存在直线l，使G平分线段MN，证明你的结论．

Answer

（1）根据题意，双曲线的离心率e=，由双曲线的性质，可得=，进而可将双曲线方程为=λ，λ≠0；将P的坐标代入，可得λ的值，进而可得答案；
（2）首先根据P、A1、A2的坐标得到三角形重心G的坐标，再假设存在直线l，使G（2，2）平分线段MN，设出M、N的坐标，分别为（x1，y1），（x2，y2），则l的方程可以设为y=m（x-2）+2，与双曲线方程联立消去y，可得关于x的一元二次方程，用△判断其根的情况可得答案．
【解析】
（1）根据题意，双曲线的离心率e=，
则=，可得=；
设双曲线方程为=λ，λ≠0；
由已知，双曲线过点P（6，6），
将其坐标代入方程，解可得λ=1，
则a2=9，b2=12．
所以所求双曲线方程为=1；

（2）P、A1、A2的坐标依次为（6，6）、（3，0）、（-3，0），
∴三角形的重心G的坐标为（2，2）
假设存在直线l，使G（2，2）平分线段MN，
设M（x1，y1），N（x2，y2）．
∴l的方程为y=m（x-2）+2，
与双曲线方程联立消去y，
整理得x2-4x+28=0．
∵△=16-4×28＜0，
∴所求直线l不存在．