Question

抛物线y²=2px的焦点弦AB的中点为M，A、B、M在准线上的射影依次为C、D、N．
求证：
（1）A、O、D三点共线，B、O、C三点共线；
（2）FN⊥AB（F为抛物线的焦点）．

Answer

（1）先设A（x1，y1）、B（x2，y2）、中点M（x，y），将焦点弦AB的直线的方程代入抛物线的方程，消去x得到关于y的一元二次方程，再结合直线斜率的关系即可证得A、O、D三点共线．同理可证B、O、C三点共线，从而解决问题．
（2）先利用斜率公式得出kFN=，再分类讨论：当x1=x2时，显然FN⊥AB；当x1≠x2时，证出kFN•kAB=-1．从而知FN⊥AB成立．
证明：（1）设A（x1，y1）、B（x2，y2）、中点M（x，y），焦点F的坐标是（，0）．
由得ky2-2py-kp2=0．
∴A、B、M在准线上的射影依次为C、D、N，
∴C（-，y1）、D（-，y2）、N（-，y）．
∵，
由ky2-2py-kp2=0
得y1y2==-p2，
∴kOA=kOD，∴A、O、D三点共线．同理可证B、O、C三点共线．----（6分）
（2）kFN=，当x1=x2时，显然FN⊥AB；
当x1≠x2时，kAB==，
∴kFN•kAB=-1．
∴FN⊥AB．综上所述知FN⊥AB成立．----（12分）