Question

如图，直三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，C₁C=CB=CA=2，AC⊥CB．D、E分别为棱C₁C、B₁C₁的中点．
（1）求点B到平面A₁C₁CA的距离；
（2）求二面角B-A₁D-A的大小；
（3）在线段AC上是否存在一点F，使得EF⊥平面A₁BD？若存在，确定其位置并证明结论；若不存在，说明理由．

Answer

（1）由直棱柱的定义结合线面垂直的性质与判定，证出BC⊥平面A1C1CA，从而BC长即为B点到平面A1C1CA的距离，结合题意得到点B到平面A1C1CA的距离为2；
（2）分别以AB、CA、CC1为x、y、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，可得C、B、A、C1、B1、A1、D和E点的坐标，从而得到的坐标，利用垂直向量数量积为零的方法建立方程组解出=（1，-1，2）是平面A1BD的一个法向量，结合=（1，0，0）是平面ACC1A1的一个法向量，利用空间向量的夹角公式即可算出二面角B-A1D-A的大小；
（3）设F（0，y，0）使得EF⊥平面A1BD，利用（2）的结论得此时∥，算出并利用向量平行的条件解出y=1，从而得到存在线段AC的中点F，使得EF⊥平面A1BD．
【解析】
（1）∵A1B1C1-ABC为直三棱住，
∴CC1⊥底面ABC，结合BC⊂底面ABC，可得CC1⊥BC
∵AC⊥CB，AC、CC1是平面A1C1CA内的相交直线
∴BC⊥平面A1C1CA…（2分）
可得BC长即为B点到平面A1C1CA的距离
结合BC=2可得点B到平面A1C1CA的距离为2…（4分）
（2）∵A1B1C1-ABC为直三棱住，C1C=CB=CA=2，
AC⊥CB，D、E分别为C1C、B1C1的中点
∴分别以AB、CA、CC1为x、y、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
得C（0，0，0），B（2，0，0），A（0，2，0），C1（0，0，2），
B1（2，0，2），A1（0，2，2），D（0，0，1），E（1，0，2）…（6分）
∴
设平面A1BD的法向量为=（1，λ，μ）
可得，即，解之得λ=-1、μ=2
∴=（1，-1，2）…（8分）
又∵=（1，0，0）是平面ACC1A1的一个法向量，
∴由，可得二面角B-A1D-A的大小为…（10分）
（3）在线段AC上存在一点F，设F（0，y，0）使得EF⊥平面A1BD…（11分）
根据（2）的结论可知，当且仅当∥时EF⊥平面A1BD，…（12分）
∵，可得y=1…（13分）
∴存在唯一的一个点F（0，1，0），即AC中点满足条件
综上所述，存在线段AC的中点F，使得EF⊥平面A1BD…（14分）