函数f（x）的定义域为R，并满足以下条件：①对任意x∈R，有f（x）＞0；②对任...

函数f（x）的定义域为R，并满足以下条件：①对任意x∈R，有f（x）＞0；②对任意x，y∈R，有f（xy）=[f（x）]^y；③f（ manfen5.com 满分网

）＞1．
（1）求f（0）的值；
（2）求证：f（x）在R上是单调增函数；
（3）若a＞b＞c＞0且b²=ac，求证：f（a）+f（c）＞2f（b）．

（1）可采用赋值法，令x=0，y=2代入可求得f（0）的值；（2）任取x1，x2∈R，且x1＜x2，可令x1=，，故p1＜p2，再判断f（x1）-f（x2）的符号，从而可证其单调性；（3）由（1）（2）可证f（b）＞1，f（a）=f（b•）=，f（c）=f（b•）=，从而可证得f（a）+f（c）=+＞2＞2=2f（b），问题即可解决．【解析】（1）∵对任意x∈R，有f（x）＞0， ∴令x=0，y=2得：f（0）=[f（0）]2⇒f（0）=1；（2）任取x1，x2∈R，且x1＜x2，则x1=，，故p1＜p2， ∵函数f（x）的定义域为R，并满足以下条件：①对任意x∈R，有f（x）＞0；②对任意x，y∈R，有f（xy）=[f（x）]y；③f（）＞1． ∴f（x1）-f（x2）=f（）-f（）=-＜0， ∴f（x1）＜f（x2）， ∴函数f（x）是R上的单调增函数．（3）由（1）（2）知，f（b）＞f（0）=1， ∴f（b）＞1， ∵f（a）=f（b•）=，f（c）=f（b•）=， ∴f（a）+f（c）=+＞2，而a+c＞2=2=2b， ∴2＞2=2f（b）， ∴f（a）+f（c）＞2f（b）．

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考点分析：

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