Question

如图,在长方体,中,,点在棱AB上移动.

（Ⅰ）证明:;

（Ⅱ）当为的中点时,求点到面的距离;

（Ⅲ）等于何值时,二面角的大小为.

Answer

（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）建立空间坐标,分别求出的坐标,利用数量积等于零即可；（Ⅱ）当为的中点时,求点到平面的距离,只需找平面的一条过点的斜线段在平面的法向量上的投影即可；（Ⅲ）设,因为平面的一个法向量为,只需求出平面的法向量,然后利用二面角为,根据夹角公式,求出即可.

试题解析：以为坐标原点,直线分别为轴,建立空间直角坐标系,设,则,

（Ⅰ）,,故 ；

（Ⅱ）因为为的中点,则,从而, ,设平面的法向量为,则 也即,得,从而,所以点到平面的距离为 ；

（Ⅲ）设平面的法向量, 而, 由,即,得,依题意得: , ,解得 (不合,舍去),      ∴时,二面角的大小为.

考点：空间向量在立体几何中应用.