Question

已知函数．

（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；

（Ⅱ）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．

（Ⅲ）求证：（，e是自然对数的底数）.

Answer

（Ⅰ）函数的单调递增区间为，单调递减区间为；（Ⅱ）实数a的取值范围是；（Ⅲ）详见解析.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）当时，求函数的单调区间,即判断在各个区间上的符号,只需对求导即可；（Ⅱ）当时，不等式恒成立，即恒成立，令 （），只需求出最大值,让最大值小于等于零即可,可利用导数求最值,从而求出的取值范围；（Ⅲ）要证（成立,即证,即证,由（Ⅱ）可知当时，在上恒成立，又因为,从而证出.

试题解析：（Ⅰ）当时，（），（），

由解得，由解得,故函数的单调递增区间为，单调递减区间为；

（Ⅱ）因当时，不等式恒成立，即恒成立，设 （），只需即可．由，

（ⅰ）当时，，当时，，函数在上单调递减，故 成立；

（ⅱ）当时，由，因，所以，①若，即时，在区间上，，则函数在上单调递增，在 上无最大值（或：当时，），此时不满足条件；②若，即时，函数在上单调递减，在区间上单调递增，同样 在上无最大值，不满足条件 ；

（ⅲ）当时，由，∵，∴，

∴，故函数在上单调递减，故成立．

综上所述，实数a的取值范围是．

（Ⅲ）据（Ⅱ）知当时，在上恒成立，又，

∵ 

，∴．

考点：1、利用导数的求单调区间, 2、利用导数求最值, 3、拆项相消法求数列的和.