Question

如图，过抛物线的对称轴上任一点作直线与抛物线交于、两点，点Q是点P关于原点的对称点.

（1）设，证明：；

（2）设直线AB的方程是，过、两点的圆C与抛物线在点A处有共同的切线，求圆C的方程.

Answer

（1）详见解析.（2）.

【解析】

试题分析：（1）将直线与抛物线的方程联立，消去y，得到二次方程，应用设而不求，整体代换思想，证明，进而证明；（2）将直线与抛物线的方程联立，解出两点的坐标，求出抛物线在点处的切线斜率，则圆心与点连线的斜率为切线斜率的负倒数，得到方程①，再将两点的坐标代入到圆的方程中，得到方程②，解方程得到圆心坐标及半径，解出圆的方程.

试题解析： (1) 由题意，可设直线的方程为，代入抛物线方程得

              ①

设、两点的坐标分别是，则是方程①的两根，所以

由得，又点Q是点P关于原点的对称点，故点Q的坐标为，从而

所以

(2) 由得的坐标分别为

抛物线在点A处切线的斜率为3.

设圆C的方程是，则

解之得

故，圆C的方程是

考点：直线与圆锥曲线的位置关系，用数量积表示向量垂直.