Question

已知函数().

(1)当时,求函数的单调区间;

(2)当时,取得极值.

① 若,求函数在上的最小值;

② 求证:对任意,都有.

Answer

（1）单调增区间为和,单调减区间为 ；（2）①②详见解析.

【解析】

试题分析：(1)求导解得或,  解得 ；

(2)①当时,取得极值, 所以解得，对求导，判断在,递增,在递减，分类讨论，求出最小值；②通过求导，求出，将恒成立问题转化为最值问题，对任意,都有.

试题解析：(1)  

当时,                  

解得或,  解得  

所以单调增区间为和,单调减区间为  

(2)①当时,取得极值, 所以 

解得(经检验符合题意)   

+

0

-

0

+

↗

↘

↗

所以函数在,递增,在递减  

当时,在单调递减, 

当时       

在单调递减,在单调递增,  

当时,在单调递增,  

综上,在上的最小值

②令 得(舍)  

因为  所以  

所以,对任意,都有.

考点：求导，函数单调性，函数最值，恒成立问题.