Question

已知函数

（Ⅰ）若，求的极大值；

（Ⅱ）若在定义域内单调递减，求满足此条件的实数k的取值范围.

Answer

（Ⅰ）F(x)取得极大值.（Ⅱ）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）利用“求导数，求驻点，讨论驻点左右区间的单调性，求极值”.

（Ⅱ）由G (x)在定义域内单调递减知：在(0+∞)内恒成立.

通过构造函数，利用导数研究函数的单调性，确定H(x)取最大值

由恒成立，确定得到实数k的取值范围.

试题解析：（Ⅰ）定义域为

                        2分

令    由

由                       4分

即上单调递增，在上单调递减

时，F(x)取得极大值         6分

（Ⅱ）的定义域为(0+∞)   

由G (x)在定义域内单调递减知：在(0+∞)内恒成立    8分

令，则  由

∵当时为增函数

当时  为减函数               10分

∴当x = e时，H(x)取最大值

故只需恒成立，

又当时，只有一点x = e使得不影响其单调性

                               12分

考点：利用导数研究函数的单调性、极值.