Question

已知函数（是自然对数的底数）.

（1）若曲线在处的切线也是抛物线的切线，求的值；

（2）当时，是否存在，使曲线在点处的切线斜率与 在

上的最小值相等？若存在，求符合条件的的个数；若不存在，请说明理由.

Answer

（1）或;(2).

【解析】

试题分析：(1)对在处求导，求出切线方程，与抛物线方程联立，根据可求解；(2)求导解出的最小值为1，对曲线C求导，令导函数为1，得到方程，构造新函数，用求导方法判断其零点个数，得解.

试题解析：（1），                                         1分

所以在处的切线为

即：                                                      2分

与联立，消去得，

由知，或.                                     4分

（2）当时，令 得 

单调递减

极小值 

单调递增

则                                                           6分

设，

则，                         7分

假设存在实数，使曲线在点处的切线斜率与

在上的最小值相等，即为方程的解，                             8分

令得：，因为， 所以.    10分

令，则 ，                        11分

当是，当时，

所以在上单调递减，在上单调递增，

,故方程 有唯一解为 ，               13分

所以存在符合条件的，且仅有一个.                               14分

考点：求导，函数单调性，函数最值，函数零点.