Question

如图，边长为2的正方形中，点是的中点，点是的中点，将△、△分别沿、折起，使、两点重合于点，连接，．

（1）求证：；

（2）求二面角的余弦值．

Answer

（1）详见解析；（2）.

【解析】

试题分析：（1）由，证出平面，进而证出结论；（2）方法一：根据对称可判断即为所求，由（1）可证△为直角三角形，再求出边长即可；方法二：建系，求出平面和平面的法向量，两法向量的夹角的余弦值即为所求.

试题解析：（1）在正方形中，有，               1分

则，                                               2分

又                                                         3分

∴平面                                                       4分

而平面，∴                                         5分

（2）方法一：连接交于点，连接                            6分

∵在正方形中，点是的中点，点是的中点，

∴，，

∴点为的中点，

且                                                             7分

∵正方形的边长为2，∴，∴                 8分

∴为二面角的平面角          9分

由（1）可得，

∴△为直角三角形        10分

∵正方形的边长为2，

∴，，

∴，，

又                        11分

∴                                     12分

∴                                          13分

∴二面角的余弦值为                                        14分

方法二：∵正方形的边长为2，点是的中点，点是的中点，

∴，

∴                                                             6分

∴，∴                                     7分

由（1）得平面，

∴分别以，，为，，

轴建立如图所示的空间直角

坐标系，              8分

则，，

，          9分

∴，，

设平面的一个法向量为，则由，

可取                                                   11分

又平面的一个法向量可取                           12分

∴                          13分

∴二面角的余弦值为.                                  14分.

考点：线面垂直的判定及性质，二面角的求法.