Question

设是曲线上的任一点，是曲线上的任一点，称的最小值为曲线与曲线的距离.

（1）求曲线与直线的距离；

（2）设曲线与直线（）的距离为，直线与直线的距离为，求的最小值.

Answer

(1)；(2).

【解析】

试题分析：（1）曲线上任意一点点到的距离为，用求导的方法判断最小值；（2）根据题意，，应用基本不等式求出最小值，注意一正二定三相等.

试题解析：（1）只需求曲线上的点到直线距离的最小值.         1分

设曲线上任意一点为则点到的距离为

                                        3分

令,则,由；

                5分

故当时, 函数取极小值即最小值，

即取最小值，故曲线与曲线的距离为；     8分

（2）由（1）可知，，又易知，                 9分

则，       12分

当且仅当时等号成立，考虑到，所以，当时，

的最小值为．                                            14分

考点：点到直线的距离公式，用导数方法求最值，基本不等式的用法.