Question

已知椭圆的左右焦点分别为，且经过点,为椭圆上的动点，以为圆心，为半径作圆.

（1）求椭圆的方程；

（2）若圆与轴有两个交点，求点横坐标的取值范围.

Answer

（1）；（2）.

【解析】

试题分析：（1）利用椭圆的定义列出表达式，求出，再由求出，写出椭圆方程；（2）先找出圆的的圆心和半径，因为圆与轴有两个交点，所以，化简得，又因为为椭圆上的点，所以代入椭圆，得出关于的不等式，解出的范围.

试题解析：（1）由椭圆定义得，                      1分

即,                  3分

∴.   又 , ∴ .                       5分

故椭圆方程为.                                   6分

（2）设，则圆的半径，    7分

圆心到轴距离 ,                                   8分

若圆与轴有两个交点则有即,      9分

化简得.                                        10分

为椭圆上的点  ,                           11分

代入以上不等式得

，解得 .                           12分

∵,                                                 13分

∴ .                                               14分

考点：1.椭圆的定义；2.圆的圆心和半径；3.点到直线的距离公式.