Question

已知数列是各项均不为0的等差数列，公差为，为其前n项和，且满足,．数列满足,， 为数列的前项和．

（1）求数列的通项公式；

（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围；

（3）是否存在正整数，使得成等比数列？若存在，求出所有

的值；若不存在，请说明理由．

Answer

(1) ；（2）；（3）存在，，.

【解析】

试题分析：（1）利用通项公式和求和公式展开解析式，解方程组，得出，，写出解析式；（2）先用裂项相消法求出，再讨论的奇数偶数两种情况，利用恒成立解题；（3）先利用等比中项列出表达式，解出.

试题解析：（1）在中，令，

得   即                2分

解得，，∴                        3分

又∵时，满足，∴  4分

（2）∵，     5分

∴．     6分

①当为偶数时，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立．      7分

∵，等号在时取得．

此时 需满足.                         8分

②当为奇数时，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立．

∴是随的增大而增大， ∴时取得最小值．

此时需满足．                   9分

∴综合①、②可得的取值范围是．  10分

（3），，，

若成等比数列，则，          11分

即．

由，可得，       12分

即，

∴．                               13分

又，且，所以，此时．

因此，当且仅当，时，数列中的成等比数列．  14分

考点：1.等差数列的通项公式和求和公式；2.裂项相消法求和；3.等比中项.