Question

在四棱锥中，侧面底面，，为中点，底面是直角梯形，，,,.

（1）求证：面；

（2）求证：面面；

（3）设为棱上一点，，试确定的值使得二面角为.

Answer

（1）证明过程详见解析；（2）证明过程详见解析；（3）能确定，.

【解析】

试题分析：（1）先证明为平行四边形，所以，即证明；（2）先证明面，所以，再证明 面，从而得到面面；（3）先建立空间直角坐标系，所以即为面法向量，令面法向量为，利用夹角的余弦求出，又在棱上，所以对的值进行取舍.

试题解析：（1）证明：记中点为.  连结、 ，

则 AB  FE 所以AB FE      1分

所以为平行四边形.                       2分

又,              4分

（2）连结在直角梯形中.，，，所以，    5分

面，  6分

又 ， ∴ 面，  7分

而面 面面       8分

（3）以为原点, 所在直线分别为轴, 轴, 轴建立空间直角坐标系.

，，，，

令，∵，∴又面

∴即为面法向量

又令面法向量为，则

令，∴

又二面角为

，即

解得

又在棱上 ∴ ∴为所求.

考点：1.线面平行的证明；2.面面垂直的判断；3.向量的夹角公式.