Question

设为数列的前项和，对任意的，都有(为正常数)．

（1）求证：数列是等比数列；

（2）数列满足求数列的通项公式；

（3）在满足（2）的条件下，求数列的前项和．

Answer

(1)证明详见解析；（2）；（3）.

【解析】

试题分析：（1）利用求出与的关系，判断数列是等差数列，从而写出等差数列的通项公式；（2）因为，所以可以证明是首项为，公差为1的等差数列，先求出的通项公式，再求；（3）把第（2）问的代入，利用错位相减法求.

试题解析：（1）证明：当时，，解得．     1分

当时，．即．    2分

又为常数，且，∴．

∴数列是首项为1，公比为的等比数列．               3分

（2）【解析】
．          4分

∵，∴，即．    5分

∴是首项为，公差为1的等差数列．         6分

∴，即．    7分

（3）【解析】
由（2）知，则                                                           

所以             8分

当为偶数时，

令                  ①

则   ②

①-②得   

=

==

                                10分

令                 ③

   ④

③-④得

= 

==

                                           11分

                                                                  12分

当为奇数时， 为偶数,

=

                             14分

法二：           ① 

 ②

                                                                       9分

 ①-②得：                                              

                                                                          10分                                    

=                         12分

=

          13分

∴                                            14分

考点：1.等差数列的判定；2.错位相减法求和；3.分类讨论思想.