Question

如图，已知椭圆：的离心率为，以椭圆的左顶点为圆心作圆：，设圆与椭圆交于点与点．

（1）求椭圆的方程；

（2）求的最小值，并求此时圆的方程；

（3）设点是椭圆上异于,的任意一点，且直线分别与轴交于点，为坐标原点，

求证：为定值．

Answer

（1）；（2），；（3）证明过程详见解析.

【解析】

试题分析：（1）先通过离心率求出，再通过，然后写出椭圆方程；（2）先设出点的坐标，由于点在椭圆上，所以，找到向量坐标，根据点乘列出表达式，配方法找到表达式的最小值，得到点坐标，点在圆上，代入得到圆的半径，就可以得到圆的方程；（3）设出点的坐标，列出直线的方程，因为直线与轴有交点，所以令，得到，所以，又因为点在椭圆上，得到方程，代入中，得到，所以.

试题解析：（1）依题意，得，，∴；

故椭圆的方程为 ．         3分

（2）方法一：点与点关于轴对称，设，， 不妨设．

由于点在椭圆上，所以．     （*）          4分

由已知，则，，

所以 

．   6分

由于，故当时，取得最小值为．

由（*）式，，故，又点在圆上，代入圆的方程得到．

故圆的方程为：．              8分

方法二：点与点关于轴对称，故设，

不妨设，由已知，则

．  6分

故当时，取得最小值为，此时，

又点在圆上，代入圆的方程得到．

故圆的方程为：．       8分

(3) 方法一：设，则直线的方程为：，

令，得， 同理：，       10分

故      （**）             11分

又点与点在椭圆上，故，，        12分

代入（**）式，得： ．

所以为定值．        14分

方法二：设，不妨设，，

其中．则直线的方程为：，

令，得，

同理：，      12分

故．

所以为定值．    14分

考点：1.椭圆方程；2.配方法求最值.